Bolyai János 1802. december 15-én született Kolozsváron (ma: Cluj-Napoca, Románia). Édesapja, Bolyai Farkas maga is kiváló matematikus volt és nagy hatással volt fia fejlődésére, kilenc éves koráig maga gondoskodott fia neveléséről. Már gyermekkorában megmutatkozott kimagasló matematikai tehetsége, és édesapja mellett fiatalon elkezdte tanulmányozni az összetett matematikai problémákat.
Hétévesen elkezdte tanulni a német nyelvet és a hegedűjátékot, amelyet szintén magas színvonalon művelt. Kilenc éves korára már differenciál- és integrálszámítást tanult, ami sok felnőtt számára is kihívás 1818-ban, mindössze 16 évesen beiratkozott a híres bécsi katonai mérnöki akadémiára (Institutum Geometricum). 1823-ban hadmérnökként végzett és az osztrák hadsereg mérnöki karában kezdett szolgálni.
Bolyai legnagyobb eredménye a nem-euklideszi geometria megalapozása. Bolyai János forradalmi módon bizonyította, hogy Eukleidész geometriai rendszeréből az ötödik - a párhuzamosokról szóló és évszázadok óta vitatott - axióma nélkül is konzisztens geometriai rendszer építhető fel. 1823-ban írta meg híres levelét édesapjának, mindössze 20 évesen, amelyben először számolt be korszakalkotó felfedezéséről:
Bolyai János matematikai munkáját csak halála után ismerték el igazán.
Amikor publikálta (1832-ben) fő művét, az „Appendix”-et, kortársai - Gauss kivételével - nem értették meg.
Az, hogy a korszak készen állt az új elméleti áttörésre, mi sem igazolja jobban, hogy több ezer kilométerre Bolyaitól az orosz matematikus, Lobacsevszkij is hasonló eredményre jutott geometriai elméleteiben, így sokáig vitatták, kié az elsőség.
Mivel édesapjához írt levelében hamarabb utalt Bolyai János a felfedezésére, így igazolható, hogy elméletét, bár nyomtatásban később jelent meg, jóval Lobacsevszkij előtt alkotta meg.
Hogy mit is köszönhet neki a világ, annak elmagyarázására mi is más tudósok szavait hívjuk segítségül.
Azt is állította, hogy a modern matematika XIX. és XX. században bekövetkezett fejlődése nagymértékben köszönhető Bolyai János munkásságának.
Bolyai János sohasem felejtette el a személyiségében és tudományos munkásságában is meghatározó nyomokat hagyó bécsi mérnökakadémiai éveket, valamint a hadmérnöki szolgálatának 15 esztendejét.
Bolyait vonzotta a hadmérnöki hivatás, s bár a katona építész mérnöktiszti pályánál magasabb tudományos elismeréshez vezette a matematika iránti rajongása, a legkiválóbb magyar hadmérnökök közé sorolja a hadtudomány
1833-ban egészségi problémák miatt nyugdíjazták.
Élete végéig Marosvásárhelyen visszavonultan élt és folyamatosan új matematikai elméleteken dolgozott.
Titkosírásban jegyzetelt, nehogy más ellopja az ötleteit!
Kiváló vívókészségéről legendák születtek. Egyes életrajzok féktelen párbajhősnek írják le, de ez jobbára túlzás. Azonban idéznek egy esetet, amikor tizenhárom tiszttársával vívott egymás után párbajt, azzal az egy kikötéssel, hogy két menet között hegedülhessen egyet.
Mert Bolyai nemcsak matematikában és a vívásban volt tehetséges, hanem hegedűművészként is kiváló volt.
Bolyai János hadmérnökként is kiemelkedő szakember volt, de legnagyobb hatása mégis a matematikára volt.
A hadmérnöksége során szerzett tapasztalatai segítették térbeli gondolkodásmódját, ami hozzájárult a nem-euklideszi geometria felfedezéséhez.
Bolyai János neve ma a matematika történetének egyik legnagyobb felfedezőjeként él tovább.
A nem-euklideszi geometria később az Einstein-féle relativitáselmélet egyik alapkövévé vált.
Nevét több iskola, intézmény és díj is őrzi.